Entier mystère et PGCD - Corrigé

Énoncé

Déterminer tous les entiers naturels \(n\) tels que \(200 et \(\mathrm{PGCD}(n;222)=37\) .

Solution

Soit \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(200 et \(\mathrm{PGCD}(n;222)=37\) .

Alors \(n\) est un multiple de \(37\) compris entre \(200\) et \(400\) , donc \(n \in \left\lbrace 222;259;296;333;370 \right\rbrace\) .

De plus, d'après la propriété caractéristique du PGCD, il existe \(n' \in \mathbb{Z}\) tel que \(n=37n'\) et 

\(\begin{align*}\mathrm{PGCD}\left(n';\dfrac{222}{37}\right)=\mathrm{PGCD}(n';6)=1\end{align*}\) . 

D'après la liste des valeurs possibles pour \(n\) , on en déduit que \(n' \in \left\lbrace 6;7;8;9;10 \right\rbrace\) .

Or, dans cette liste, seul \(7\) est premier avec \(6\) . On en déduit que \(n'=7\) , et donc \(n=259\) .