Entier mystère et PGCD - Corrigé

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Énoncé

Déterminer tous les entiers naturels n tels que \(200 et PGCD(n;222)=37 .

Solution

Soit nN tel que \(200 et PGCD(n;222)=37 .

Alors n est un multiple de 37 compris entre 200 et 400 , donc n{222;259;296;333;370} .

De plus, d'après la propriété caractéristique du PGCD, il existe nZ tel que n=37n et 

PGCD(n;22237)=PGCD(n;6)=1

D'après la liste des valeurs possibles pour n , on en déduit que n{6;7;8;9;10} .

Or, dans cette liste, seul 7 est premier avec 6 . On en déduit que n=7 , et donc n=259 .

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