Entier mystère et PGCD - Corrigé

Énoncé

Déterminer tous les entiers naturels $n$ tels que \(200 et $\mathrm{PGCD}(n;222)=37$ .

Solution

Soit $n\in \mathbb{N}$ tel que \(200 et $\mathrm{PGCD}(n;222)=37$ .

Alors $n$ est un multiple de $37$ compris entre $200$ et $400$ , donc $n\in \{222;259;296;333;370\}$ .

De plus, d'après la propriété caractéristique du PGCD, il existe $n^{\prime }\in \mathbb{Z}$ tel que $n=37n^{\prime }$ et 

$\begin{array}{r}\mathrm{PGCD}(n^{\prime };{\displaystyle \frac{222}{37}})=\mathrm{PGCD}(n^{\prime };6)=1\end{array}$ . 

D'après la liste des valeurs possibles pour $n$ , on en déduit que $n^{\prime }\in \{6;7;8;9;10\}$ .

Or, dans cette liste, seul $7$ est premier avec $6$ . On en déduit que $n^{\prime }=7$ , et donc $n=259$ .